PITAGORAS Y LOS NUMEROS 1º
No mucho después de la época en que Tales cavilaba sobre los misterios del universo, hace unos 2.500 años, había otro sabio griego que jugaba con cuerdas. Pitágoras, al igual que Tales, vivía en una ciudad costera, Crotona, en el sur de Italia; y lo mismo que él, no era precisamente un hombre del montón. Las cuerdas con las que jugaba Pitágoras no eran cuerdas comunes y corrientes, sino recias, como las que se utilizaban en los instrumentos musicales del tipo de la lira. Pitágoras se había procurado cuerdas de diferentes longitudes, las había tensado y las pulsaba ahora una a una para producir distintas notas musicales. Números musicales Finalmente halló dos cuerdas que daban notas separadas por una octava; es decir, si una daba el do bajo, la otra daba el do agudo. Lo que cautivó a Pitágoras es que la cuerda que daba el do bajo era exactamente dos veces más larga que la del do agudo. La razón de longitudes de las dos cuerdas era de 2 a 1. Volvió a experimentar y obtuvo otras dos cuerdas cuyas notas diferían en una «quinta»; una de las notas era un do, por ejemplo, y la otra un sol. La cuerda que producía la nota más baja era ahora exactamente vez y media más larga que la otra. La razón de las longitudes era de 3 a 2. Como es lógico, los músicos griegos y de otros países sabían también fabricar cuerdas que diesen ciertas notas y las utilizaban en instrumentos musicales. Pero Pitágoras fue, que se sepa, el primer hombre en estudiar, no la música, sino el juego de longitudes que producía la música. ¿Por qué eran precisamente estas proporciones de números sencillos —2 a 1, 3 a 2, 4 a 3— las que originaban sonidos especialmente agradables? Cuando se elegían cuerdas cuyas longitudes guardaban proporciones menos simples —23 a 13, por ejemplo— la combinación de sonidos no era grata al oído. Puede ser, quién sabe, que a Pitágoras se le ocurriera aquí una idea luminosa: que los números no eran simples herramientas para contar y medir, sino que gobernaban la música y hasta el universo entero. Si los números eran tan importantes, valía la pena estudiarlos en sí mismos. Había que empezar a pensar, por ejemplo, en el número 2 a secas, no en dos hombres o dos manzanas. El número 2 era divisible por 2; era un número par. El número 3 no se podía dividir exactamente por 2; era un número impar. ¿Qué propiedades compartían todos los números pares? ¿Y los impares? Cabía empezar por el hecho de que la suma de dos números pares o de dos impares es siempre un número par, y la de un par y un impar es siempre impar. O imaginemos que dibujásemos cada número como una colección de puntos. El 6 vendría representado por seis puntos; el 23, por veintitrés, etc. Espaciando regularmente los puntos se comprueba que ciertos números, conocidos por números triangulares, se pueden representar mediante triángulos equiláteros. Otros, llamados cuadrados, se pueden disponer en formaciones cuadradas. Números cuadrados Si el triángulo tiene tres lados, el cuadrado tiene cuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90 grados), por lo cual era de esperar que la sucesión de los números cuadrados fuese muy distinta de la de los triangulares. Ahora bien, un solo punto aislado encajaba igual de bien en un cuadrado que en un triángulo, de manera que la sucesión de cuadrados empezaba también por el número 1. Los siguientes cuadrados se podían formar colocando orlas de puntos adicionales a lo largo de dos lados adyacentes del cuadrado anterior. Añadiendo tres puntos al cuadrado de uno se formaba un cuadrado de cuatro puntos, que representaba el número 4. Y el de nueve se obtenía de forma análoga, orlando con cinco puntos más el cuadrado de cuatro. La secuencia proseguía con cuadrados de dieciséis puntos (el cuadrado de nueve, más siete puntos), veinticinco puntos (dieciséis más nueve), treinta y seis (veinticinco más once), etc. El resultado era la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Como los triángulos crecían de manera regular, no le cogió de sorpresa a Pitágoras el que los cuadrados hicieran lo propio. El número de puntos añadidos a cada nuevo cuadrado era siempre un número impar, y siempre era dos puntos mayor que el número añadido la vez anterior. (Las cursivas vuelven a indicarlo.) Dicho de otro modo, los números cuadrados podían formarse mediante una sucesión de sumas de números impares consecutivos: 1 = 1; 4 = 1 + 3; 9=1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9; etcétera. Los cuadrados también se podían construir a base de sumar dos números triangulares consecutivos: 4=1+3; 9 = 3 + 6; 16 = 6+10; 25=10+15;... O multiplicando un número por sí mismo: 1 = 1x1; 4 = 2x2; 9 = 3x3;... Este último método es una manera especialmente importante de formar cuadrados. Puesto que 9 = 3x3,
No mucho después de la época en que Tales cavilaba sobre los misterios del universo, hace unos 2.500 años, había otro sabio griego que jugaba con cuerdas. Pitágoras, al igual que Tales, vivía en una ciudad costera, Crotona, en el sur de Italia; y lo mismo que él, no era precisamente un hombre del montón. Las cuerdas con las que jugaba Pitágoras no eran cuerdas comunes y corrientes, sino recias, como las que se utilizaban en los instrumentos musicales del tipo de la lira. Pitágoras se había procurado cuerdas de diferentes longitudes, las había tensado y las pulsaba ahora una a una para producir distintas notas musicales. Números musicales Finalmente halló dos cuerdas que daban notas separadas por una octava; es decir, si una daba el do bajo, la otra daba el do agudo. Lo que cautivó a Pitágoras es que la cuerda que daba el do bajo era exactamente dos veces más larga que la del do agudo. La razón de longitudes de las dos cuerdas era de 2 a 1. Volvió a experimentar y obtuvo otras dos cuerdas cuyas notas diferían en una «quinta»; una de las notas era un do, por ejemplo, y la otra un sol. La cuerda que producía la nota más baja era ahora exactamente vez y media más larga que la otra. La razón de las longitudes era de 3 a 2. Como es lógico, los músicos griegos y de otros países sabían también fabricar cuerdas que diesen ciertas notas y las utilizaban en instrumentos musicales. Pero Pitágoras fue, que se sepa, el primer hombre en estudiar, no la música, sino el juego de longitudes que producía la música. ¿Por qué eran precisamente estas proporciones de números sencillos —2 a 1, 3 a 2, 4 a 3— las que originaban sonidos especialmente agradables? Cuando se elegían cuerdas cuyas longitudes guardaban proporciones menos simples —23 a 13, por ejemplo— la combinación de sonidos no era grata al oído. Puede ser, quién sabe, que a Pitágoras se le ocurriera aquí una idea luminosa: que los números no eran simples herramientas para contar y medir, sino que gobernaban la música y hasta el universo entero. Si los números eran tan importantes, valía la pena estudiarlos en sí mismos. Había que empezar a pensar, por ejemplo, en el número 2 a secas, no en dos hombres o dos manzanas. El número 2 era divisible por 2; era un número par. El número 3 no se podía dividir exactamente por 2; era un número impar. ¿Qué propiedades compartían todos los números pares? ¿Y los impares? Cabía empezar por el hecho de que la suma de dos números pares o de dos impares es siempre un número par, y la de un par y un impar es siempre impar. O imaginemos que dibujásemos cada número como una colección de puntos. El 6 vendría representado por seis puntos; el 23, por veintitrés, etc. Espaciando regularmente los puntos se comprueba que ciertos números, conocidos por números triangulares, se pueden representar mediante triángulos equiláteros. Otros, llamados cuadrados, se pueden disponer en formaciones cuadradas. Números cuadrados Si el triángulo tiene tres lados, el cuadrado tiene cuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90 grados), por lo cual era de esperar que la sucesión de los números cuadrados fuese muy distinta de la de los triangulares. Ahora bien, un solo punto aislado encajaba igual de bien en un cuadrado que en un triángulo, de manera que la sucesión de cuadrados empezaba también por el número 1. Los siguientes cuadrados se podían formar colocando orlas de puntos adicionales a lo largo de dos lados adyacentes del cuadrado anterior. Añadiendo tres puntos al cuadrado de uno se formaba un cuadrado de cuatro puntos, que representaba el número 4. Y el de nueve se obtenía de forma análoga, orlando con cinco puntos más el cuadrado de cuatro. La secuencia proseguía con cuadrados de dieciséis puntos (el cuadrado de nueve, más siete puntos), veinticinco puntos (dieciséis más nueve), treinta y seis (veinticinco más once), etc. El resultado era la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Como los triángulos crecían de manera regular, no le cogió de sorpresa a Pitágoras el que los cuadrados hicieran lo propio. El número de puntos añadidos a cada nuevo cuadrado era siempre un número impar, y siempre era dos puntos mayor que el número añadido la vez anterior. (Las cursivas vuelven a indicarlo.) Dicho de otro modo, los números cuadrados podían formarse mediante una sucesión de sumas de números impares consecutivos: 1 = 1; 4 = 1 + 3; 9=1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9; etcétera. Los cuadrados también se podían construir a base de sumar dos números triangulares consecutivos: 4=1+3; 9 = 3 + 6; 16 = 6+10; 25=10+15;... O multiplicando un número por sí mismo: 1 = 1x1; 4 = 2x2; 9 = 3x3;... Este último método es una manera especialmente importante de formar cuadrados. Puesto que 9 = 3x3,