Cada sistema infinito limitado adentro tiene un punto de acumulación .
Para , un subconjunto infinito de un sistema limitado cerrado tiene un punto de acumulación adentro . Por ejemplo, dado una secuencia limitada , con para todos , debe tener un subsequence monotónico . El subsequence debe converger porque es monotónico y limitado. Porque es cerrado, contiene el límite de .
El teorema de Bolzano-Weierstrass con se relaciona de cerca el teorema de Heine-Borel y el teorema de la intersección de Cantor , cada uno de el cual se puede derivar fácilmente de cualquiera de los otros dos.
Para , un subconjunto infinito de un sistema limitado cerrado tiene un punto de acumulación adentro . Por ejemplo, dado una secuencia limitada , con para todos , debe tener un subsequence monotónico . El subsequence debe converger porque es monotónico y limitado. Porque es cerrado, contiene el límite de .
El teorema de Bolzano-Weierstrass con se relaciona de cerca el teorema de Heine-Borel y el teorema de la intersección de Cantor , cada uno de el cual se puede derivar fácilmente de cualquiera de los otros dos.